Читать книгу - "Хулиномика 6.2. Элитно, подробно, подарочно! - Алексей Викторович Марков"

к паритету коллов и путов (речь о европейских опционах). Если колл минус пут – это то же самое, что цена акции минус цена исполнения, тогда их цены должны складываться. То есть в день исполнения цена акции = цена колла – цена пута + страйк.

Если же подумать о любой предшествующей дате, вы уже знаете заранее, что произойдёт в день исполнения. Поэтому картинка будет ровно та же самая, за исключением того, что цену исполнения нужно привести к сегодняшней. Ну и если компания будет выплачивать дивиденды между сегодняшним днём и датой исполнения, надо их добавить, ведь держатели опционов дивидендов не получают. Это называется колл-пут паритетом.

Теперь можно упростить пример с датой исполнения, ведь равенство верно во все даты. Потому что если бы оно нарушилось, возникла бы возможность арбитража, безрискового заработка. Вернёмся к нашему примеру из газеты. Что там у нас было: цена исполнения в 25 долларов, цена колла в 45 центов, цена пута 3,60. Выходит, что 25 + 0,45 – 3,60 = 21,85, как раз цена акции. Это если между текущей котировкой и датой исполнения не будет дивидендов.

Из-за этого паритета «Уолл-стрит Джоурнал» мог и не печатать цены и коллов, и путов, ведь одну можно получить из другой. Но они их печатали для удобства, а может быть, кто-то и пытался заработать на арбитраже между ними. Но в расчётах часто бывает, что считают только цены на коллы. Как только они есть, можно вычислить цены на путы через их соотношение.

20.4. Границы оценки опционов колл

Теперь давайте подумаем об оценке коллов. Мы точно можем узнать цену колла в день его исполнения – это всего лишь разница между страйком и ценой акции.

А на день раньше? Ну, во-первых, цена колла никогда не может быть отрицательной. Колл не может стоить меньше, чем цена акции за минусом страйка. Ещё она не может быть выше, чем цена самой акции, ведь всегда можно просто купить эту акцию безо всяких опционов. И чем ближе к дате исполнения, тем меньше будет разница между ценой опциона и разницей между акцией и страйком. В день исполнения они сравняются. Опцион станет вне денег. Потому что если акция стоит $21,85 и у меня опцион на её покупку по $25 (или 24, или 23, да даже и $21,85), мой опцион не стоит ровным счётом ничего.

Но если дата исполнения через месяц (как в нашем примере), то опцион таки немного стоит, ведь есть небольшой шанс, что цена акции поднимется выше $25. И сколько люди готовы заплатить за право иметь этот шанс? Немного, 45 центов. Почему так мало? Потому что $21,85 далековато от $25, а у опциона остался всего месяц. Какова вероятность того, что акция вырастет так сильно? Ну, она есть, но небольшая. Поэтому больше 45 центов за такой опцион не дадут.

Вот и причина того, что не надо исполнять американский опцион колл раньше срока. Ведь если вы его исполнили, его ценность падает до нуля. Но до даты исполнения он стоит всегда дороже. Поэтому если нужно вынуть деньги, его надо не исполнять, а продать.

Поэтому разница между европейскими и американскими опционами не так велика, как кажется на первый взгляд. Понятно, что американские коллы не надо исполнять слишком рано. Хотя могут быть ситуации, когда оптимально будет исполнить американский пут досрочно – но вам не надо об этом сейчас думать. Можно оценить европейские коллы, а из них посчитать, сколько будут стоить путы.

20.5. Биномиальная модель оценки опционов

Поговорим о ценообразовании. Основная формула для оценки опционов – это уравнение Блэка – Шоулза. Но перед этим надо понять, как она вообще появилась.

Расскажу простую историю, чтобы вы интуитивно всё поняли. Чтобы максимально всё упростить, мы переедем в мир, где у акции есть всего две цены. Это будет биномиальный мир. Пусть у нас есть всего два варианта стоимости акции: дёшево и дорого, ок?

И время у нас тоже предельно упрощено – есть только два дня, сегодня и завтра – день экспирации. Будет цена на акцию, и она может пойти либо вверх, либо вниз.

Теперь рассмотрим портфель из акции и опциона. Я куплю ровно столько акций, сколько продам (выпишу) коллов на неё. Если цена завтра сходит вверх, опцион у его покупателя окажется в деньгах, и он его реализует. Исполняя этот опцион, я отдам покупателю купленные акции. При этом я ничего не теряю (я же их купил ещё по сегодняшней цене), а зарабатываю на цене опциона.

Если цена пойдёт вниз, покупатель его реализовывать не будет. У меня на руках останутся акции, которые я купил сегодня задорого, и которые подешевели. То есть я заработаю цену проданных опционов, но мои акции упадут.

При этом я собрал портфель, у которого нулевой риск. Если у меня акций столько же, сколько я продал опционов, тогда никакого риска нет – по исполненным опционам я отдам контрагенту свои акции. Если у портфеля нет риска, то приносить он должен как раз безрисковую ставку доходности. Это всё равно что безрисковое вложение. Тогда можно подставить в уравнение всё, кроме цены колла, и найти её.

Это следствие того, что формула получается из безарбитражных условий. Арбитраж (в финансах) означает возможность заработать без риска. Например, перенестись в 2018 год, продать акции существовавшего ещё банка «Тинькофф Кредитные Системы» в Лондоне по 8 долларов, продать доллары по 60 рублей, и в тот же день купить те же акции в Москве по 470 рублей. Если у нас есть счета и там, и там, нам всё равно, где хранятся акции, и если такая возможность реально найдётся, с каждой акции мы получаем безрисковые 10 рублей (60 × 8-470), тогда как акции остаются у нас в портфеле. Арбитраж намекает на то, что нельзя заработать больше безрисковой ставки, не беря на себя риск. Но теперь-то мы знаем, что риск был, и ого-го какой.

Если бы это было возможно – представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу всё в шестипроцентную схему. И я буду так делать до скончания веков на все возможные деньги. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб её упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.

Это всё равно что сказать, что на тротуаре обычно не