Читать книгу - "Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб"

Иногда на возможность арбитража указывает значительно меньшая или большая форвардная волатильность для заданного интервала. Поскольку опционы торгуются по спотовой, а не форвардной волатильности, арбитражи по споту более сложны и рынкам легче выйти из-под контроля.

Предупреждение. Метод форвардной волатильности применим только к опционам на взаимозаменяемые активы, такие как иностранная валюта или акции. Опционы на евродоллар, например, являются неперекрывающимися инструментами, и использование рассмотренного выше метода анализа веги, базирующегося на данных книги опционов на евродоллары, может исказить риски.

Интервальная вега является более эффективным инструментом управления рисками для ванильных опционов. В случае с опционами, зависящими от пути, это единственно возможный способ анализа экспозиций. Как будет показано далее, ванильные опционы демонстрируют линейную интервальную чувствительность к дисперсии, а зависящие от пути – неравномерную экспозицию в пределах интервала. Некоторые из данных инструментов, например нокаут-опционы, могут быть длинными по веге в одном интервале и короткими в другом.

Пример: как перевести обычную вегу в вегу форвардных интервалов. (Примечание: эта техника применима только к ванильным продуктам.)

Примем следующую экспозицию в DEM-опционах, полученную из прямого интервала.

Вышеуказанные результаты напоминают те, что дают коммерческие системы управления рисками. Если трейдер купит 3-месячный опцион, вега всей позиции будет показана в интервале, которая завершается на 3-м месяце. В нашем случае это строка 0–90.

При этом оператор должен уметь быстро корректировать данные. Предположим, что не зависящие от пути опционы имеют экспозиции, которые линейно распределены во времени (например, у 3-месячного опциона треть экспозиции веги придется на первый интервал 0–30, треть – на второй 30–60 и треть – на третий 60–90).

Это легко подтверждается теоретически. Достаточно сказать, что гамма сильнее всего в конце срока, но ее шансы быть в самой сильной точке при этом невелики, в то время как в начальном периоде она более равномерная, но слабая. Также можно увидеть, что ожидание прибыли и убытка от гаммы не меняется в зависимости от периода и разница интегралов на двух уровнях волатильности будет соответствовать веге.

Оператор должен учитывать неравномерность интервалов. Поскольку в начале он решил использовать более узкие сегменты, а в конце – более широкие, его годовой опцион будет обладать следующей разбивкой экспозиции:

● 50 % экспозиции приходится на интервал 180–360;

● 25 % экспозиции приходится на интервал 90–180;

● 8,33 % экспозиции приходится на каждый из интервалов 0–30, 30–60 и 60–90.

В табл. 9.4 приведена разбивка экспозиции.

Мультифакторная вега

Этот продвинутый метод включает в себя создание матрицы корреляции форвардной волатильности. Это можно сделать и на спотовой волатильности при условии, что позиция не содержит компонентов, которые зависят от пути или имеют отложенный старт.

Предварительно, без подробного описания метода (о нем пойдет речь в главе 12), можно сформулировать понятие ожидаемого риска на основе нормального поведения интервалов.

Этап 1. Оператор строит матрицу корреляции процентных движений между форвардными интервалами, выбирая, скажем, сегменты 0–30, 30–60, 60–90, 90–180, 180–270, 270–365, 365–730 и т. д. Затем, используя исторический анализ, оператор определяет корреляцию между периодами (см. табл. 9.5 и 9.6).

Конечно, возникает ряд статистических проблем, как и в случае с любой матрицей корреляции подобного рода. Главная из них связана с тем, насколько сильно оператор должен углубиться в исторические данные, чтобы получить значимую матрицу. Большой период выборки может включать в себя очень отдаленные интервалы, поведение волатильности в которых кардинально отличается от поведения в настоящем. Более короткий период выборки несет риск потери статистической значимости. Еще одна сложность – это выбор линейных методов статистической ассоциации (т. е. корреляции) на рынках, к которым нельзя применить метод наименьших квадратов.

Этап 2. Окончательная экспозиция вычисляется с помощью простой матричной алгебры[150], дающей как результат единственное число. Такой анализ в дополнение к взвешиванию веги позволяет выявить стабильность экспозиций. Соседние интервалы должны быть более совместимыми, поэтому их экспозиции следует балансировать тщательнее, чем экспозиции удаленных интервалов.

Формулы. Трейдерам не нужно бояться матричных вычислений, поскольку такая функция обычно есть в электронных таблицах. Будет полезно выписать формулы до использования примера, который подходит к предыдущей матрице.

Волатильность форвардных интервалов:

Затем трейдер строит вектор экспозиции, используя для входных данных вегу 10 %-ного изменения волатильности (т. е. прибыль/убыток, возникающие в результате изменения волатильности от 15 % до 16,5 %) и умножая каждую из них 10 раз на соответствующую V (дневная волатильность). Из-за нелинейного влияния волатильности на книгу опционов экспозицию лучше аппроксимировать, используя локальный диапазон (в нашем примере 10 %), вместо того чтобы двигать волатильность к нулю и получать «вегу номинальной стоимости», которая сильно не соответствует действительности.

Затем строят матрицу корреляции форвардной волатильности. Единица, используемая для дисперсии, соответствует процентным изменениям волатильности и определяется как разница натуральных логарифмопериодов.

Транспонированная матрица E умножается на V, а результат – на E. Полученное число будет выражать чистые прибыль/убыток, которые ожидаются при движении общих уровней волатильности на одно стандартное отклонение.

Пример. Возьмем предыдущую экспозицию, как показано в табл. 9.7.

Экспозиция при использовании однофакторной взвешенной волатильности показала бы, что позиция нейтральна (см. табл. 9.8). Трейдер может анализировать позицию традиционным способом, восстанавливая исходные интервалы. Таким образом, вега(0, 90) может быть воссоздана с промежуточными интервалами:

Вега(0, 90) = вега(0, 30) + вега(30, 60) + вега(60, 90).

Та же позиция представляет стоимость под риском $21 000. Таким образом, если использовать точные исторические данные, предполагается, что такая позиция, несмотря на нейтральность, должна двигаться в среднем на $21 000 в день.

Еще более интересный подход заключается во включении в дополнение к интервалам возможных перекосов.

Мастер опционов: сдвиги кривых и поверхности

Любая кривая (волатильности, процентной ставки, форвардных цен) может претерпевать сдвиги, как показано на следующих рисунках.

Первый порядок: параллельный сдвиг.

Второй порядок: поворот.

Третий порядок: изменение выпуклости.

Кривая может демонстрировать любую комбинацию перечисленных выше изменений. То же самое относится и к поверхности волатильности.

Первый порядок: параллельный сдвиг.

Второй порядок: поворот.

Комбинация.

Высший порядок: наблюдаются более интересные деформации, и некоторые из них могут быть абсурдными, но не невозможными, как показано на следующем рисунке.

Поверхность волатильности

■ Поверхность волатильности (трейдеры также называют ее поверхностью Дюпира–Дермана–Кани) – это представление значений рыночной подразумеваемой волатильности как функции времени до экспирации (по горизонтали[151]) и цены исполнения (по вертикали). Используется для построения:

● спотовой кривой, отображающей волатильность от 0 до времени t;

● кривой локальной волатильности, показывающей мгновенную волатильность на разных возможных уровнях цен активов в разных точках в будущем[152].

Легко заметить, что локальная волатильность по отношению к форвардной волатильности – это аналог диагонального спреда по отношению к календарному. Локальная волатильность – это обобщение подхода Дюпира, Дермана и Кани к форвардной волатильности между двумя точками[153].

В табл. 9.9 показана подразумеваемая волатильность как функция количества дней до экспирации и цены исполнения опционов S&P500,