Читать книгу - "Просто космос: Задачи о межпланетных путешествиях - Владимир Георгиевич Сурдин"

орбитальный период 11,9 лет), скорость обращения Солнца вокруг центра масс составляет V = VЮ MЮ /М = 13 м/с. С такой амплитудой будет изменяться радиальная скорость Солнца для удаленного наблюдателя, если он находится в плоскости орбиты Юпитера. Если же эта плоскость наклонена к его лучу зрения на угол β, то проекция лучевой скорости Солнца на луч зрения наблюдателя составит 13 м/с × cos β. Из условия 13 м/с × cos β > 10 м/с находим ограничение на угол: β < 40°. Поскольку плоскость орбиты Юпитера практически совпадает с эклиптикой (плоскостью орбиты Земли), то угол β практически равен эклиптической широте. Следовательно, если звезда, у которой живут «братья по разуму», имеет эклиптическую широту |β| < 40°, то у них есть шанс заметить периодическое движение Солнца и сделать вывод о наличии у него планетной системы (ну, или, по крайней мере, одного Юпитера). Правда, измерение радиальной скорости Солнца придется проводить довольно долго – более одного орбитального периода Юпитера, то есть более 12 лет.

Отметим, что, когда эта задача впервые была сформулирована в начале 2000-х гг., указанная в ее условии точность измерений (10 м/с) вполне соответствовала уровню развития астрономии тех лет. Однако к настоящему времени (2025 г.) уровень существенно возрос, и уже можно ориентироваться на точность измерения лучевой скорости в 20 см/с. Если у наших «братьев по разуму» произошел такой же прогресс, то каким будет при этом критическое значение угла β?

4.6. Астрометрический метод

Как мы уже знаем, практически вся масса нашей планетной системы сосредоточена в Юпитере, поэтому в подобных задачах можно рассматривать двойную систему Солнце – Юпитер, обращающуюся вокруг общего центра масс. Расстояние Солнца от центра масс r

= rЮMЮ/M , где rЮ – расстояние Юпитера от центра масс, практически совпадающее с радиусом его орбиты (5,2 а.е. = 779 млн км). Тогда амплитуда углового перемещения Солнца при наблюдении с α Кентавра при расстоянии до нее D будет α = r /D = rЮ(МЮ/М )/D рад (поскольку угол, очевидно, очень мал, значения арксинусов и арктангенсов можно заменять значениями их аргументов, если углы выражены в радианах). В угловых секундах это будет

α = 206 265˝r

/D = 206 265˝rЮ(МЮ/М )/D.

Вспомним, что годичным параллаксом объекта называют угол p, под которым от него виден отрезок в 1 а.е. (радиус земной орбиты): в угловых секундах p = 206 265˝(1 а.е. / D). Поэтому в формуле для α вместо расстояния (D) можно использовать параллакс: α = p (r

/ 1 а.е.) = p (rЮ / 1 а.е.) МЮ/М . Положив М /МЮ = 1000, получим

α = 0,751˝ × 5,2/1000 = 0,004˝.

Это значение в два с половиной раза меньше указанной в условии задачи предельной точности измерений (0,01˝). Значит, пользуясь этим методом, астрономы из системы α Кентавра не узнают, что у Солнца есть планеты.

4.7. Падаем на Солнце

Поскольку радиус земной орбиты намного больше радиуса Солнца, мы можем упростить постановку задачи и вычислить время падения Земли до центра притяжения, то есть до центра Солнца. Падение по радиусу-вектору к Солнцу с расстояния R можно представить как движение по предельно сжатому эллипсу с большой полуосью а = R/2. Время падения t равно половине орбитального периода Р на этой орбите. Значение P легко определяется из третьего закона Кеплера. Представим падение Земли на Солнце как ее движение по эллиптической орбите с афелием, равным 1 а.е., и перигелием, равным нулю. Тогда большая полуось орбиты будет равна 0,5 а.е., а время полуоборота

T = 0,5 × 1 год × 0,53/2 = 65 сут. ≈ 2 мес.

Скорость найдем из закона сохранения энергии (гравитационная + кинетическая). Скорость падения издалека (из «бесконечности») на поверхность небесного тела радиуса R

равна второй космической скорости на этой поверхности:

V∞ = (2GM

/R )1/2 = 618 км/с.

Можно уточнить это значение, учтя, что падение происходит с расстояния 1 а.е.:

V = [2GM

(1/R  – 1/1 а.е.)]1/2 = 617 км/с.

4.8. Выстрел с поверхности Солнца

Формально, двигаясь с постоянной начальной скоростью, снаряд преодолел бы это расстояние от Солнца до Земли за три с половиной года. Однако, учитывая, что вторая космическая скорость на поверхности Солнца (2GM

/R )1/2 = 618 км/с, а скорость снаряда 1,5 км/с, ясно, что снаряд вообще не покинет Солнце. Поэт Гебель не подумал об этом.

4.9. Геоцентрический рисунок

Оба древнегреческих ученых были бы крайне удивлены и расстроены отсутствием у наших с вами современников элементарных астрономических знаний. Любому наблюдателю неба известно, что обе внутренние планеты – Меркурий и Венера – никогда не удаляются от Солнца на такое большое угловое расстояние. Максимальная элонгация Меркурия составляет 28°, а Венеры 47° (иногда 48°).

Рис. 57. Конфигурации внутренних и внешних планет

Рис. 58. Средние максимальные западные элонгации Меркурия и Венеры

Приведенный в условии задачи рисунок не уникален – к сожалению, подобные встречаются нередко. Ниже примеры из разных современных книг.

Греки хорошо знали, что восточная и западная элонгации Меркурия и Венеры практически симметричны относительно направления на Солнце. К счастью, среди современных иллюстраций геоцентрической системы мира есть и положительные примеры.

Рис. 59. Неправильная схема геоцентрической системы мира

Рис. 60. Самая ужасная схема геоцентрической системы мира

Рис. 61. Ошибочная схема геоцентрической системы мира

Рис. 62. Почти верная схема геоцентрической системы мира

Приведенный рисунок не идеален, но всё же центры эпициклов Меркурия и Венеры лежат строго в направлении на Солнце, что правильно.

4.10. Эпициклы

Размеры эпициклов на иллюстрациях не могут быть произвольными.