Читать книгу - "Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб"

Дельта, волатильность и экстремальная волатильность

Все операторы на рынках опционов знают, что повышение волатильности приводит к росту дельты колла вне денег и ее падению у колла в деньгах, таким образом приближая дельты к 50 % (или, точнее, к приведенному значению 50 %).

Мастер опционов: дельта и вероятность быть в деньгах

(Этот вопрос более подробно рассматривается в главе 17.)

Дельта является риск-нейтральной (см. модуль В) репликацией опциона. Ценность репликации соответствует интегралу выплат между ценой исполнения и бесконечностью для колла (или нулем для пута) при условии, что базовый процесс является риск-нейтральным. В дискретном выражении это будет сумма выплаты каждой случайности, умноженная на ее риск-нейтральную вероятность. Дельта – это чувствительность этой величины к изменениям в базовом активе.

Практически она соответствует доле актива, который трейдер должен держать, чтобы избежать получения мгновенных прибыли/убытка от микродвижений.

Вероятность исполнения в деньгах – это просто дисконтированная вероятность, отделенная от соответствующей выплаты. При изучении бинарных опционов будет показано, что дельта и вероятность оказаться в деньгах одинаковы при очень низкой волатильности и при отсутствии перекоса (асимметрии распределения доходностей) и начинают расходиться при наличии либо перекоса, либо высокой волатильности (т. к. это может привести к перекосу вправо в связи с логнормальностью, см. рис. 7.7).

Трейдеры с позицией в барьерном опционе, которые видят дельты на 500 %, понимают, хотя и интуитивно, что дельта означает репликацию количества, а не вероятность. Они знают, что такая дельта соответствует суммам, которые нужно купить или продать, чтобы защитить свою позицию от потерь и сохранить комфортный образ жизни.

Можно также расширить некоторые понятия из парадокса сделок двух стран: вероятность оказаться в деньгах, используя одну часть пары в качестве расчетной валюты, – это дельта для стороны, использующей другую сторону в качестве расчетной валюты. Таким образом, в ванильном опционе DEM-USD дельта для оператора на основе USD – это вероятность опциона оказаться в деньгах для оператора на основе DEM. Этот парадокс обсуждается в главе 19 и модуле C.

В формуле, как показано здесь, актив S следует геометрическому броуновскому движению:

где S0 – цена акции в момент времени 0 (настоящее время), µ – (риск-нейтральный) дрейф (дифференциал процентных ставок или ставок по валютам за вычетом стоимости поддержания позиции), σ – волатильность и t – время до экспирации.

Z следует за уменьшенным центрированным нормальным распределением, таким как

У нас есть условное ожидание E(St) в момент времени 0 = S0 exp(µ t).

Повышение волатильности увеличивает ожидаемую конечную цену акции за счет сложных процентов, в то время как дрейф заставит ее уменьшиться на 0,5σ2t.

В табл. 7.3 показано, что именно происходит при расчете цены актива в электронной таблице. Оператор предполагает, что t = 12 % за 1 год, и подставляет 0,12. Мы также предполагаем, что µ = 0 и S0 = 100. Волатильность (первый столбец) представлена в годовом исчислении (для соответствия t, которое также представлено в годовом исчислении).

Значения Z имеют одинаковую вероятность. Таким образом, если бы центральный столбец был равен 100, во всех случаях ожидаемые значения актива S были бы выше, чем S0. Корректирующий член –0,5σ2t помогает добиться соответствия мартингейлу: каждая ячейка, умноженная на ее вероятность, должна суммироваться до S0. Обратите внимание, как –0,5σ2t тянет вниз рынок в центральном столбце (Z = 0).

Сложные проценты появляются в результате так называемой геометрической доходности: т. к. доходность нарастает в сложных процентах, более высокая волатильность увеличивает ее и усиливает расхождение арифметического процесса (когда доходность постоянна) и геометрического процесса (когда доходность зависит от уровня актива). Чистым эффектом этих двух уравновешивающих факторов является толщина правого хвоста. (Этот эффект будет рассмотрен в главах 17 и 18.) На рис. 7.6 показан график конечных значений коэффициентов S в зависимости от их вероятности.

При более высокой волатильности, как показано на рис. 7.7, распределение демонстрирует все большее смещение вправо. Среднее значение, однако, остается прежним – поверхности от значения 100 с каждой стороны равны. Это означает, что медиана должна смещаться влево пропорционально уровню волатильности. Это смещение влияет на дельту.

Пример. Форвард торгуется по 100, спот – по 100. В табл. 7.4 перечислены дельты 110 коллов, 90 коллов и 90 путов, все со сроком до экспирации 180 дней. Процентная ставка для простоты равна нулю.

Волатильность не часто поднимается до 180 %. Трейдер, торгующий опционами на недолевые инструменты, видит, что с активно торгуемым ликвидным инструментом такое случается только раз в несколько лет. Опционный трейдер, однако, быстро учится на таких примерах.

Вот список случаев наблюдения трехзначной волатильности на рынках.

1987 г.: серебро, индексы акций, евродоллары.

1990 г.: нефть и связанные с ней рынки (война в Персидском заливе).

1992 г.: короткий стерлинг.

1995 г.: Мексика (краткосрочные опционы, торгуемые, как сообщается, на уровне 250 %), евроиена.

1992–1993–1995 гг.: PIBOR (парижская межбанковская кредитная ставка) (на рынке французских евродепозитов паника наблюдается с такой периодичностью, что даже младшие опционные трейдеры прекрасно знают о la lognormalité).

Это намекает на общую проблему Уолл-стрит: колл на облигации также может рассматриваться как пут на доходность. Для ценообразования трейдеры используют геометрическое броуновское движение для обоих инструментов, что является неверным – и доходность, и цены одновременно не могут быть логнормальными и иметь толстый правый хвост в периоды высокой волатильности. Усиливает это противоречие то, что трейдеры часто смешивают подобные инструменты в одной и той же позиции. Фьючерсы на облигации, например (скрывающие встроенный опцион), оцениваемые по логарифмически броуновской цене, смешиваются с облигациями, оцениваемыми по логарифмически броуновской доходности, и объединяются в качестве хеджей в одной позиции. Такое некорректное смешивание активов может иметь серьезные последствия для большой позиции при высокой волатильности, т. к. в этих случаях разница в дельтах становится выраженной.

Понятия «дельта» и «частичная дельта» для многомерных опционов будут рассмотрены в главе 22.

Глава 8

Гамма и теневая гамма

Как-то в середине 1994 г. по дилинговым залам США прокатилась новость о банкротстве хедж-фонда, которое обошлось инвесторам минимум в $600 млн. Особое беспокойство вызвало то, что обанкротившийся фонд должен был придерживаться «рыночно нейтральной» стратегии. Рыночная нейтральность казалась тогда панацеей в нестабильном мире ужесточения политики и перекосов. Теоретически фонд должен был держать дешевые ценные бумаги, хеджировать их и получать доходность выше среднего для жителей Флориды.

Один из трейдеров попросил своего менеджера объяснить результаты и получил следующий ответ: «Там кто-то неправильно взял производную второго порядка».

Простая гамма

■ Гамма является второй (математической) производной цены дериватива к цене актива. Она легко рассчитывается аналитически:

Неравномерность гаммы в пространстве (т. е. с течением времени и при неизменности цены актива) имеет следующие эффекты:

● Для опциона при деньгах гамма максимальна, когда он торгуется около даты экспирации.

● Для опциона вне денег гамма максимальна, когда он находится далеко от даты экспирации.

Эта временна́я зависимость гаммы имеет определенные последствия для календарного спреда, как показано на рис. 8.1. Если трейдер покупает опцион A и продает опцион B, то гамма позиции будет положительна при деньгах (на рис. 8.1 линия A выше линии B), но на каком-то уровне линии пересекаются. Лучшая аналогия – бегуны на короткие дистанции и в марафоне. Марафонец выигрывает на длинной дистанции. Спринтер выигрывает 100-метровый забег. В промежутке есть дистанция, на которой они будут иметь одинаковую скорость.

На рис. 8.1 видно, что на пути