Читать книгу - "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир"

Заметим, однако, что, делая эту подстановку, мы слегка ослабили результат фон Коха. Из того, что «остаточный член есть Ο(√x∙ln x)», следует, что «остаточный член есть Ο(x^1/2+ε)», но обратное неверно. Эти два утверждения не являются точно эквивалентными. Такое происходит, потому что, как мы видели в главе 5.iv, не только ln x растет медленнее, чем любая степень x, но (ln x)^N обладает тем же свойством при любом положительном N. Так что если бы результат фон Коха утверждал, что остаточный член есть Ο(√x∙(ln x)¹⁰⁰), то мы все равно в качестве альтернативного вида вывели бы Ο(x^1/2+ε)!

Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде Ο(x^1/2+ε) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x⁰; порядок величины есть не х^1/2, а x^1/2+ε. Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x^1/2 все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины.^[136]

Вводя Ο большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить Ο большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит Ο большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к Ο большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

IV.

Оставим Ο большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если A = B и при этом ни A, ни B не равны нулю, то 1/A = 1/B. Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a на (p + q), что дает ар + aq. Затем умножаем b на (p + q), что дает bp + bq. А потом, поскольку в скобках у нас a плюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v), то повторение этих действий дает apu +aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv. Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у) дает