Читать книгу - "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир"
Открой для себя врата в удивительный мир Читать книги / Домашняя книг на сайте books-lib.com! Здесь, в самой лучшей библиотеке мира, ты найдешь сокровища слова и истории, которые творят чудеса. Возьми свой любимый гаджет (Смартфоны, Планшеты, Ноутбуки, Компьютеры, Электронные книги (e-book readers), Другие поддерживаемые устройства) и погрузись в магию чтения книги 'Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир' автора Джон Дербишир прямо сейчас – дарим тебе возможность читать онлайн бесплатно и неограниченно!
665 0 08:43, 26-05-2019Аннотация к книге "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир", которую можно читать онлайн бесплатно без регистрации
Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.
Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1 − s) через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1 − s) и ζ(s), потому что если s = 1/2, то 1 − s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/2 связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.
Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:
−2, −4, −6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.
А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.
VII.
В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:
Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x) равен −ln(1 − x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:
Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:
Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение (9.3) дает следующий результат:
Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.
Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]
Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − 1/2) − 1/4 + (1/3 − 1/6) − 1/8 + (1/5 − 1/10) − …, т.е. 1/2(1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]
Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим впечатлением! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Оставить комментарий
-
Гость Елена12 июнь 19:12
Потрясающий роман , очень интересно. Обожаю Анну Джейн спасибо 💗
Поклонник - Анна Джейн
-
Гость24 май 20:12
Супер! Читайте, не пожалеете
Правила нежных предательств - Инга Максимовская
-
Гость Наталья21 май 03:36
Талантливо и интересно написано. И сюжет не банальный, и слог отличный. А самое главное -любовная линия без слащавости и тошнотного романтизма.
Вторая попытка леди Тейл 2 - Мстислава Черная
-
Гость Владимир23 март 20:08
Динамичный и захватывающий военный роман, который мастерски сочетает драматизм событий и напряжённые боевые сцены, погружая в атмосферу героизма и мужества.
Боевой сплав - Сергей Иванович Зверев