Читать книгу - "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир"

Рисунок 7.2. Наклон.

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln x наклон при аргументе x = 10, если вы его измерите, равен ¹/₁₀. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает ¹/₂₀. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает ¹/₅. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе x ее наклон равен 1/x — числу, обратному x (обозначаемому еще как x⁻¹).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции f можно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x, то g — это 1/x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/x — это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7f — это 7g. (Так что производная от 7∙ln x равна 7/x.) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g.^[58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции x^N. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции x^N есть функция Nx^N−1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.