Читать книгу - "Хулиномика 6.2. Элитно, подробно, подарочно! - Алексей Викторович Марков"

пущей ясности возьмём обычный (честно и точно сделанный) шестигранный кубик. Очевидно, что вероятность выпадения каждой цифры – одна шестая, граней ведь шесть. Сумма всех выпадений равна 1+2+3+4+5+6=21. Берём от каждой одну шестую (надеюсь, сможете сами?), складываем вместе (или просто 21 делим на 6), получаем три с половиной. Значит, матожидание броска кубика – 3,5. Если мы много-много раз бросим кубик и посчитаем среднее, то получится число, близкое к 3,5. Понятно, что в случае броска одного кубика ожидать 3,5 бессмысленно, а вот в случае двух ждать семёрки – очень хорошая идея. И чем больше раз мы бросим кубик, тем ближе среднее будет к 3,5. Его и следует ждать математически, поэтому оно и называется матожидание.

Кроме среднего ещё есть медиана – это когда половина результатов эксперимента больше, а половина меньше этой цифры. Она часто используется в демографии. Например, зарплату по региону корректнее сравнивать не среднюю, а медианную, потому что очень маленькие или (чаще) очень большие зарплаты, даже если таких немного, заметно искажают реальную картину. А на медиану они почти не влияют: если из десяти сотрудников один получает 910 тысяч и ест мясо, а девять человек – по 10 тысяч и едят капусту, то средняя выйдет 100 тысяч рублей, что никак не отражает общую картину. Медиана в 10 тысяч куда точнее; а в среднем, как вы поняли, все они едят голубцы.

Если нам потребуется матожидание непрерывных функций, то идея там точно такая же, но складывать надо интегралы. Слово страшное (сам его боюсь), но вообще это просто сумма площадей под графиком функции. Например, взять температуру – вероятность того, что термометр покажет у кипятка ровно 100 градусов, равна нулю, потому что он всегда может показать 100,001 или 99,999. Таких цифр бесконечное количество, и у каждой конкретной из них вероятность равна нулю. Но можно посчитать, например, плотность вероятности у какого-либо отрезка.

9.6. Генеральная совокупность против выборки

Теперь пару слов о совокупности. Мы подметили все возможные варианты выпадения кубика, хорошо и годно всё посчитали. Но в реальности результаты экспериментов посчитать трудно, потому что почти всегда мы имеем дело с выборками, а не со всей совокупностью результатов. Возьмём, например, дерево. Вот мы хотим оценить количество его листьев. Как? Берём 5 веток и считаем на них среднее количество листьев. Потом умножаем на количество веток, и у нас получится примерная (но неплохая) оценка количества листьев на дереве.

Реального среднего количества листьев на всех ветках мы не знаем, а лишь приблизительно определили его из пяти наших веток. Такое среднее принято обозначать не иксом, а иксом с чертой, и оно тем ближе к иксу, чем ближе количество отобранных нами веток к количеству веток на всём дереве. Если мы возьмём несколько отличающихся веток (а не только самые длинные), то наша выборка будет лучше отражать свойства всего дерева. Так и с людьми: если в исследуемой группе есть представители разных городов, профессий, возрастов, то выводы будут точнее и вернее, чем если опросить только вечно пьяных студентов МИРЭА.

В Америке в 1936 году случился интересный казус с репрезентативностью выборки, когда журнал «Литерари Дайджест» опросил аж 10 миллионов человек насчёт выборов президента. Это огромное количество респондентов: для достоверной статистики хватило бы 2–3 тысячи правильно собранных ответов. Журнал предсказал победу республиканцу Альфу Лэндону со значительным перевесом (60 на 40), а выборы выиграл демократ Франклин Рузвельт – как раз с таким же перевесом, но в обратную сторону. Дело в том, что большинство подписчиков журнала были республиканцами, а в попытке сгладить это несоответствие журнал рассылал бюллетени по телефонным книгам. Но не учёл забавного факта: телефоны тогда были доступны только среднему и высшему классу общества, а это были в основном республиканцы.

9.7. Дисперсия

Пока мы говорили лишь о средствах измерения основной тенденции, но ещё нам потребуется средство измерения её вариативности, иными словами, разброса её значений. Дисперсия случайной величины – это как она меняется от одного измерения до другого. Обозначается она как σ2, греческая сигма в квадрате. А просто сигма – это так называемое стандартное отклонение. Это корень из дисперсии.

Дисперсия – это сумма квадратов расстояний от каждого результата до среднего результата, делённая на их количество. Почему квадратов? Потому что какие-то результаты отличаются от среднего в меньшую сторону, и чтобы при складывании отрицательных отклонений общая сумма не уменьшалась, придумали возводить разницу в квадрат и складывать уже квадраты отклонений (которые всегда положительны).

Тут плохо то, что дисперсия размерностью не совпадает с изучаемым явлением. Если мы измеряем сантиметры, то дисперсия окажется в квадратных сантиметрах. Поэтому из неё берут квадратный корень.

Чтобы не лопнул мозг, во-первых, налейте вина, а во-вторых, давайте вспомним про кубик. Так вот, для шестигранника дисперсия получается 2,92 (сами посчитаете? Я вам помогу[64]), ну а корень из этого – 1,71. То есть в среднем у нас выпадает 3,5, но типичный разброс результатов от среднего равен 1,71. Чем больше этот разброс, тем больше квадраты расстояний до среднего, тем больше дисперсия. Чем дисперсия больше, тем сильнее наша случайная величина варьируется. То есть можно написать, что на кубике в среднем выпадает 3,5±1,71 очка. Ещё раз напомню, что для дискретной случайной величины вроде кубика цифры выглядят абсурдно, но стоит кинуть 100 кубиков сразу, и получится волшебство! Рекомендую попробовать.

Оценивать дисперсию всей совокупности по частичной выборке не совсем правильно. Возвращаясь к нашему примеру с деревом, разброс между количеством листьев у выбранных веток будет, естественно, меньше, чем у всех веток дерева, потому что мы вряд ли попадём в самую пушистую и в самую лысую ветку. Поэтому, чтобы узнать дисперсию всей совокупности, её делят не на n результатов, а на n–1, это называется коррекция смещения, придумал её в XIX веке Фридрих Бессель, ученик Гаусса.

На этом о дисперсии и оценках выборки всё. Там есть, конечно, ещё куча мелочей, но мы будем говорить о теорвере лишь в контексте инвестиций. Это именно та область, где нам нужен высокий доход, а вот дисперсия совершенно не нужна. Высокое матожидание дохода – добро, а высокая дисперсия – зло, потому что это риск, это неизвестность. Все финансовые теории в конечном счёте стремятся получить высокий доход с минимальным риском.

Жалко, что у них ничего не получается.

9.8. Корреляция, ковариация и регрессия

Ещё одна важная концепция – это ковариация. Это показатель того, насколько две переменные двигаются вместе. Насколько похоже их поведение? Если мы задаём икс, а эксперимент выдаёт нам игрек, и мы подмечаем,