Читать книгу - "Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир - Дэвид Дойч"

Теорема Балинского — Янга

Всякий метод пропорционального распределения, который удовлетворяет правилу квоты, приводит к парадоксу населения.

Эта сильная теорема о невозможности объясняет длинную цепочку исторических неудач в решении задачи пропорционального распределения. Не говоря уже о различных других условиях, которые могут показаться существенными для обеспечения справедливого распределения, ни один метод не может удовлетворить даже базовым требованиям пропорциональности и не позволяет избежать парадокса населения. Балинский и Янг также доказали теоремы о невозможности и для других классических парадоксов.

Эта работа имела гораздо более широкий контекст, чем проблема пропорционального распределения. На протяжении XX века и особенно после Второй мировой войны основные политические движения пришли к согласию в том, что будущее благосостояние человечества будет зависеть от совершенствования в области планирования и принятия решений в масштабах общества (а лучше в мировых масштабах). Западный взгляд отличался от подходов тоталитарных противников тем, что был нацелен на удовлетворение предпочтений отдельных граждан. Таким образом, западные сторонники планирования в масштабах общества были вынуждены взяться за фундаментальный вопрос, с которым тоталитаристы не сталкивались: когда перед обществом в целом встаёт выбор, а предпочтения граждан разнятся, какой вариант выбора является для общества наилучшим? Если люди единодушны в выборе, то проблемы нет, но планировщик тогда не нужен. Если же они не единодушны, то какой вариант можно рационально обосновать как «волю народа» — вариант, к которому «склоняется» общество? И тогда возникает второй вопрос: как в обществе должен быть организован процесс принятия решений, чтобы выбирались действительно те варианты, к которым общество «склоняется»? Эти два вопроса существовали, по крайней мере неявно, с самого зарождения современной демократии. Например, и в Декларации независимости США, и в Конституции США говорится о праве «народа» на определённые действия, например на смену правительства. Сегодня эти вопросы стали центральными в области математической теории игр, называемой теорией социального выбора.

Таким образом, теория игр, ранее малоизвестная и немного странная ветвь математики, вдруг оказалась в центре деятельности человека, как до неё — ракетостроение и ядерная физика. Многие из величайших математических умов, включая фон Неймана, занялись развитием теории игр в интересах бесчисленного множества учреждаемых институтов коллективного принятия решений. Предстояло создать новые математические инструменты, с помощью которых можно, учитывая пожелания, потребности или предпочтения членов общества, сделать вывод о том, чего «хочет» общество, реализуя тем самым установку на осуществление «воли народа». Они также должны были определить, какие системы голосования и законотворчества дадут обществу то, что оно хочет получить.

Были открыты некоторые интересные математические закономерности, но лишь малая их доля, если таковые вообще были, позволяла удовлетворить этим устремлениям. Напротив, снова и снова с помощью теорем о невозможности, подобных теореме Балинского — Янга, доказывалось, что предположения, стоящие за теорией социального выбора, непоследовательны или несостоятельны.

Таким образом, оказалось, что проблема пропорционального распределения, которая поглотила столько времени, сил и энтузиазма законодателей, была лишь верхушкой айсберга. Эта проблема гораздо менее парохиальна, чем кажется. Например, ошибки округления пропорционально уменьшаются с увеличением числа мест в законодательном органе. Так почему бы просто не сделать его очень большим, скажем, десять тысяч членов, чтобы все ошибки округления стали ничтожно малы? Во-первых, потому, что для принятия решений такой законодательный орган должен был бы самоорганизовываться изнутри. Фракциям внутри органа самим пришлось бы выбирать лидеров, политические курсы, стратегии и так далее. Как следствие, все проблемы социального выбора возникли бы внутри маленького «общества» — фракции определённой партии в законодательном органе. Выходит, дело не сводится к ошибкам округления. Но и основными предпочтениями людей оно не исчерпывается: если приглядеться к деталям процесса принятия решений в больших группах — к тому, как законодательные органы, партии и фракций внутри них самоорганизуются, чтобы присовокупить свои пожелания к «желаниям общества», — то окажется, что нужно учитывать и второй, и третий по важности варианты выбора. Ведь у людей должно оставаться право участвовать в принятии решений, даже если они не могут убедить большинство согласиться с их главным выбором. Однако с избирательными системами, которые рассчитаны на то, чтобы принимать такие факторы во внимание, неизменно связано ещё больше парадоксов и теорем о невозможности.