Читать книгу - "Как надо думать? - Сима Крейнин"

Задачи на взвешивание – весьма распространённый вид математических задач.

В таких задачах требуется обнаружить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем сравнения между собой как отдельных предметов, так и целых групп.

Фальшивая монета

Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В нашем распоряжении лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше.

Решение

Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся монеты и выявляем фальшивую (более легкую).

Если же одна группа из трех монет легче другой, значит именно в ней есть фальшивая монета. Из этой, более легкой группы кладем на весы две монеты и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшивая третья монета, а если нет, то та, которая легче.

Мешки с золотом

Есть 10 мешков с золотом. В каждом по 10 монет. В девяти мешках монеты настоящие, а в одном – все фальшинвые. Одна настоящая монета весит 5 грамм, а фальшивая – 4 грамма. Есть весы, показывающие вес в граммах.

Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты.

Мешки можно раскрывать и вытаскивать монеты

Решение

Пронумеруем мешки от 1 до 10. Вытащим из первого мешка одну монету, из второго – две, из третьего – три и так далее. Затем возьмем всю эту кучу монет и положим на весы. Если бы они все были настоящие, то общий вес составил бы 275 грамм (т. к. мы вытащили в общей сложности 55 монет).

Но в одном из мешков были фальшивые монеты. Если это был первый мешок, то вес будет на 1 грамм меньше (т. к. мы взяли оттуда 1 монету). Если фальшивые были во втором мешке, то на 2 грамма меньше. И так далее.

101 монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.

Решение

Взвешиваем 50 и 50 монет: возможны 2 варианта.

Вариант 1. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку, вместо одной из имеющихся там:

а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;

б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.

Вариант 2. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:

а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;

б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

Задачи для тренировки

1. Буратино

У Буратино есть 27 золотых монет. Известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?

2. Ткань

Эта задача, хоть и совсем не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как у других задач этого раздела. Как от куска ткани, площадью в 2/3 кв. метра, отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

3. Развесить чай

Как развесить 20 кг чая в 10 коробок по 2 кг в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 кг?

4. Спасение семейства

Король, его сын-принц и дочь-принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно.

Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение.

Естественно, как только одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Однако, если разница в весе превышала 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз.

Единственное, что помогло бы пленникам бежать, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов – его можно было использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?

5. Гвозди на весах

В коробке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

6. Взвесить слона

Сможете ли вы повторить действия, которые предпринял в одной древней легенде восточный мудрец? Попробуйте. Вот условие.

Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?

7. Весы затопило

На обыкновенных весах лежат: на одной чаше гранитный булыжник, весящий 2 кг, на другой – железная гиря в 2 кг. Останутся ли чашки весов в равновесии, если весы погрузить в воду?

8. Зарплата работника

Один из ваших работников настаивает на том, чтобы ему платили золотом. У вас есть золотой слиток, стоимость которого соответствует семидневной зарплате этого сотрудника. Он уже размечен на семь равных кусков. Если вам разрешили сделать всего два разреза слитка, а работнику нужно платить в конце каждого дня, как можно решить эту проблему?