Читать книгу - "Значимые фигуры - Йен Стюарт"

Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная^[2].

Архимед мысленно уравновешивает шар, цилиндр и конус на весах, а затем нарезает их бесконечно тонкими ломтиками, которые перераспределяет таким образом, чтобы сохранить баланс. Затем он применяет закон рычага, чтобы соотнести три объема между собой (объемы цилиндра и конуса был уже известны), и выводит требуемые величины. Существуют предположения, что именно Архимед первым использовал настоящие бесконечно малые величины в математике. Возможно, мы усматриваем слишком много в этом не самом вразумительном документе, но ясно, что трактат «О методе» предвосхищает некоторые идеи дифференциального исчисления.

* * *

Другие труды Архимеда наглядно показывают, насколько разнообразными были его интересы. Трактат «О спиралях» доказывает некоторые фундаментальные утверждения о длинах и площадях, связанных с Архимедовой спиралью – кривой, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль прямой линии, вращающейся с постоянной скоростью. Трактат «О коноидах и сфероидах» исследует объемы сегментов объемных тел, образованных вращением конических сечений вокруг некоторой оси.

Трактат «О плавающих телах» – первая в истории работа по гидростатике и равновесным позициям плавающих объектов. В него входит и закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Этот принцип является темой знаменитого исторического анекдота, в котором Архимеда просят придумать метод, при помощи которого можно определить, действительно ли обетная корона, изготовленная для царя Гиерона, сделана из золота. Идея решения осеняет Архимеда внезапно, когда он принимает ванну, и он приходит в такой восторг, что выскакивает на улицу, позабыв одеться, и несется по городу в чем мать родила с криком «Эврика!» («Нашел!»). Не забывайте, что появление нагого человека в публичном месте в Древней Греции не рассматривалось как скандальное событие. Кульминацией книги является условие устойчивого плавания параболоида – предтеча фундаментальных идей теории кораблестроения, связанных с остойчивостью и переворачиванием судов.

В «Измерении круга» метод исчерпывания применяется для доказательства того, что площадь круга равна длине половины радиуса, умноженной на длину окружности, – πr² в современных терминах. Чтобы доказать это, Архимед вписывает в окружность и описывает вокруг нее правильные многоугольники с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Рассматривая девяностошестиугольник, он доказывает результат, эквивалентный, по существу, оценке величины π: он попадал в промежуток между 3¹/₇ и 3¹⁰/₇₁.

«Исчисление песчинок» адресовано Гелону II, тирану Сиракуз и сыну Гиерона II. Это подкрепляет предположение о том, что Архимед был в родстве с царской семьей. Он так объясняет свою цель: