Читать книгу - "История математики - Ричард Манкевич"

С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических явлений, особенно движения. Исследуемые темы включали термодинамику, астрономическую механику, гидродинамику, оптику, электричество и магнетизм. Ученые составляли дифференциальные уравнения, описывая эти явления, а затем разрабатывали методы, необходимые для их решения. Единственное точное решение было трудно найти, а потому математики сосредоточились на методах приблизительного решения. Хотя упомянутые выше явления физически выглядели совершенно по-разному, все они в некотором смысле были связаны со средой. Со времени появления ньютоновских «Начал» бушевали споры относительно реальности «действия на расстоянии»: как, например, тяготение может действовать на большом расстоянии? Что такое тяготение и магнетизм — разные проявления одной и той же силы или совершенно различные явления? Возможно ли, что пространство заполнено некоей средой, известной как эфир? Если да, то что такое эфир и каковы его свойства? Чтобы проиллюстрировать все эти вопросы, я сосредоточусь на истории теории потенциала и ее связи с электромагнетизмом.

Дифференциальное и интегральное исчисления Лейбница усложнились и теперь позволяли работать более чем с одной независимой переменной, так что можно было исследовать функцию z=t (х,у) так же, как кривую y=ƒ(x) на плоскости. Это стало возможно благодаря появлению частичных дифференциальных уравнений, в которых каждую переменную можно было дифференцировать независимо от остальных. Взаимодействия движущихся частиц могли быть представлены дифференциальными уравнениями. Первоначальные решения Ньютона, описывавшие эллиптические орбиты планет, были получены только благодаря применению достаточно грубых упрощений, в частности утверждений, что Солнце и планеты имеют точечные массы и что каждую планету можно рассматривать независимо от всех остальных. Теперь, когда неприятие гелиоцентрической модели и эллиптических орбит было преодолено, можно было начать работу по созданию более точной и сложной модели. Одним из приемов было рассмотрение изменения энергии внутри динамической системы — речь идет о теории потенциалов, представляющей собой математический способ выразить физическую идею сохранения энергии.