Читать книгу - "Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир"

I.

А теперь попытаемся проникнуть в самую сердцевину работы Римана 1859 года. Это по необходимости подразумевает знакомство с некоторым довольно продвинутым математическим аппаратом, который использовал сам Риман. Мне придется без лишних слов перескакивать через по-настоящему трудные места, преподнося их как faits accomplis^[178]; я просто попытаюсь описать логические этапы в рассуждениях Римана, говоря при этом нечто вроде: «У математиков есть способ перейти от этого к этому», не объясняя, в чем же этот способ состоит и как он работает.

Я надеюсь, что у читателя в итоге сложится впечатление по крайней мере насчет общей логической канвы тех шагов, которым следовал Риман. Но даже и это не удастся без небольшой толики анализа, существенные моменты которого уже изложены в главе 7.vi-vii. Несколько следующих разделов могут показаться вам сложными. Но наградой будет результат столь же мощный, сколь и прекрасный, из которого вытекает все — сама Гипотеза, ее значение и ее связь с распределением простых чисел.

II.

Для начала выскажу нечто противоречащее тому, что было сказано в главе 3.iv. Ну, вроде как противоречащее. Там мы говорили, что не слишком интересно рисовать график функции π(N), которая подсчитывает для нас простые числа. В том месте книги так и было. А теперь это не так.

Однако сначала кое-что подкорректируем. Вместо того чтобы писать π(N), что на глаз математика выглядит как «число простых чисел, не превышающих натурального числа N», будем писать π(x), что должно означать «число простых чисел, не превышающих вещественного числа x». Ничего особенного мы не сделали. Разумеется, число простых чисел, не превышающих 37,51904283, есть просто число простых чисел, не превышающих 37 (и равно двенадцати: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37). Но нам предстоит познакомиться с некоторым объемом дифференциального и интегрального исчисления, и поэтому желательно находиться в царстве всех, а не одних только целых чисел.

И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу x в пределах некоторого интервала значений функция π(x) внезапно совершает прыжки. Пусть, например, x постепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где π(x) совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между значениями, от которого и до которого она прыгает. Так, при аргументе 10,9, или 10,99, или 10,999999 функция имеет значение 4; при аргументе 11,1, или 11,01, или 11,000001 функция имеет значение 5; но при аргументе 11 это будет 4,5. Сожалею, если это представляется вам немного необычным, но это важно для наших целей. Если мы так сделаем, то все рассуждения из этой главы и из главы 21 будут иметь силу; а если нет, то они не будут работать.