Читать книгу - "Растут ли волосы у покойника? Мифы современной науки - Эрнст Петер Фишер"

В некотором смысле наука в XX веке была весьма запутанной. Во многих областях невозможно ни определить, ни решить, ни тем более предсказать, как развивается наш мир. Невыразимое (несказанное) проявляется все больше и больше, как некогда писал поэт Райнер Мария Рильке, и оно бросает науке вызов, который виден, например, в неопределенности, неуверенности, непредсказуемости и неразрешимости научных проблем. Эти идеи неожиданно прозвучали в математике, в начале 1930-х годов в работах венского логика Курта Гёделя. Во время Второй мировой войны его мысли были затем конкретизированы на практике в результате открытия неразрешимости задач, сделанного английским математиком Аланом Тьюрингом. В своей работе «О формально неразрешимых теоремах “Принципов математики” и других родственных систем», опубликованной в 1931 году, Гёдель смог показать, что высказанная в 1900 году Давидом Гильбертом мечта об аналитической разрешимости всех вопросов математики по-прежнему остается мечтой. Мы можем знать, и мы будем знать – как оптимистически провозгласил Гильберт, но тут со стороны Гёделя последовало опровержение. В логической системе, основанной на ряде определений (аксиом), как показал «господин Почему» (так называли Гёделя в детстве), могут быть сформулированы теоремы и утверждения, которые в данных рамках нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Они остаются нерешаемыми. Однако это имеет и положительную сторону, ведь в этом случае они дают разрешение принять открытое решение и даже делают возможной свободу там, где ее не ищут и не ждут.

Что же сделал Тьюринг? Великий англичанин сначала мысленно сконструировал машину, способную шаг за шагом расчетным путем решать конкретно поставленные задачи, а затем доказал, что невозможно решить, дойдет ли эта машина когда-нибудь до конца и справится ли она с поставленной перед ней проблемой.

Конкретный пример теоремы Гёделя сегодня – вопрос о том, существует ли всего лишь несколько или бесконечное множество форм бесконечности. Известны две формы, которые различают как «счетные» и «несчетные». В первом случае имеется в виду прежде всего ряд натуральных чисел, стремящийся в бесконечность. Во втором случае представим себе все другие числа, к которым относятся и числа, именуемые иррациональными, причем в качестве примера приведем корень из «2» (√2). При помощи изысканного (конструктивного) метода подсчета математик Георг Кантор сумел в XIX веке показать, что иррациональных чисел значительно больше, чем натуральных. Это совершенно очевидно для здравого смысла, который обычно имеет мало что общего с бесконечностью. Но тут возникает вопрос: а нельзя ли найти и другие бесконечности, и более того, не существует ли континуума бесконечности, т. е. бесконечности бесконечного?

Между тем стал известным ответ. Правда, он непонятен здравому смыслу. Дело в том, что решить эту задачу не может ни один математик. Можно лишь доказать, что о числе бесконечностей доказать невозможно ничего. Как ни странно это звучит, но даже мир чисел полон недоказуемостей. Кто мог вообразить такое в конце XIX века! Иными словами, даже в якобы самостоятельно возникших мирах математической логики и чисел существуют области, в которых мы выглядим как истинные профаны!