Читать книгу - "Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб"

со временем (из-за сужения вероятности наступления событий). Это означает, что каждый инструмент с опциональностью подвержен временно́му распаду.

Жесткой опциональностью называют ситуацию, когда у контракта есть цена исполнения. В свою очередь, мягкой опциональностью считается ситуация, когда у контракта есть встроенная выпуклость, но нет реальной цены исполнения. Мягкой опциональности обычно свойственна более мягкая гамма и другие греки. Также для нее характерны более стабильные во времени характеристики.

Базовые правила опционной эквивалентности

Ниже приведены базовые правила того, что трейдеры называют «опционной алгеброй».

● Паритет пут-колл для европейского опциона: длинный колл / короткий пут = длинный форвард, при условии, что их цены исполнения одинаковы.

Предупреждение об истечении срока действия. Пин-риск (описанный в главе 13) приводит к нарушению паритета пут-колл для котируемых опционов.

Обозначение длинной позиции знаком «+», а короткой – знаком «–» позволяет перейти к следующей простой арифметике.

Эквивалентность позиций:

+С – P = F. Длинный форвард равен позиции «длинный колл / короткий пут» с одинаковым страйком.

Следовательно:

+C = P + F. Длинный колл эквивалентен позиции «длинный пут / длинный форвард».

А также:

+P = C – F. Длинный пут эквивалентен позиции «длинный колл / короткий форвард».

● Для мягкого американского опциона (см. определение ниже в этой главе) правило паритета пут-колл соблюдается, но не так строго.

● Для жестких американских опционов правило становится менее четким. Более сложные правила описаны в главе 15. В соответствии с ними неспециалистам рекомендуется полностью игнорировать паритет пут-колл.

Пример. Предположим, что 3-месячный 102 пут торгуется по $1,975, 3-месячный 102 колл торгуется по $2,9625, а форвард с поставкой на дату экспирации для обеих сделок торгуется по 101,00.

На дату экспирации при финансировании по ставке 5 % колл будет стоить $1,975 × 0,05 × (90/360) = $0,025, а пут – $0,0375. В этом случае мы получим распределение прибыли-убытка как в табл. 1.1.

Табл. 1.1 показывает профиль позиции на дату экспирации. Если две сделки эквивалентны на экспирацию на всем множестве возможных цен базового актива и имеют одну и ту же дату экспирации, то данные позиции характеризуются одинаковым риском и профилем прибыли/убытка на всем протяжении их жизни.

Следующее правило применяется ко всем рынкам, должным образом отмасштабированным, при условии, что это европейские опционы на ликвидные форварды. Чтобы сделать это правило подходящим для фьючерса, необходимо должным образом учесть наращивание «хвоста» (см. главу 7).

Правило зеркального отображения

Один пут + x% форварда = один колл + (100 – x)% форварда (если цена исполнения и дата экспирации опционов одинаковы).

Это правило очевидно. При дельте пута 30 % получаем P + 0,3F = (C – F) + 0,3F = C – 0,7F[23]. Если 103-й пут имеет форвардную дельту 30 %, то 103-й колл будет иметь форвардную дельту 70 %. В этой формуле используется форвардная дельта (forward delta), а не спотовая дельта (cash delta)[24]. Большинство систем управления рисками используют спотовую, а не форвардную дельту, как это делает каноническая формула Блэка–Шоулза–Мертона.

Предупреждение. Европейские опционы необходимо хеджировать форвардом[25], а не спотом (т. е. базовым активом на рынке спот). Однако большинство коммерческих систем ценообразования используют вместо этого хеджирование спотовым инструментом, и это может вводить в заблуждение. Трейдеры часто прибегают к базовому активу на рынке спот для краткосрочного хеджирования из-за низкой ликвидности форвардов. Эта привычка обычно приводит их к тому, что они не соблюдают точные условия для адекватного паритета пут-колл.

■ Форвардная дельта для европейского опциона – это эквивалентная позиция в форварде с той же датой поставки, что и у базового актива.

Для американских опционов форвардная дельта, как правило, имеет неопределенную длительность. Эта длительность, в принципе, может быть рассчитана, ее называют «омегой» (см. далее в настоящей главе), однако она слишком нестабильна для использования в наших целях с точки зрения эквивалентности.

Таким образом, стрэддл (straddle) будет эквивалентен двум дельта-нейтральным коллам или двум дельта-нейтральным путам (с одним и тем же страйком). Предположим, что форвардная дельта пута составляет 30 %:

Стрэддл = 2P + 0,6F = 2(C – F) + 0,6F = 2C – 2F + 0,6F = 2C — 1,4F.

Следовательно, календарный спред на коллах (call calendar spread) имеет такой же профиль, как и календарный спред на путах (put calendar spread) (при постоянных процентных ставках).

Бабочка (butterfly) на путах будет иметь ту же цену, что и аналогичная конструкция на коллах. Рассмотрим бабочку на страйках 98/100/102 (покупка одного 98 колла, продажа двух 100 коллов, покупка одного 102 колла):

Бабочка на 98/100/102 коллах, бабочка на 98/100/102 путах и 98/100/102 кондор (condor) будут обладать одинаковой экспозицией.

Кондор 98/100/102 состоит из длинного 98 пута, длинного 102 колла и короткого 100 стрэддла:

Для того чтобы дать читателю наглядное представление о данной концепции, на рис. 1.4 показан один и тот же профиль прибыли/убытка для следующих позиций:

Длинный 98, длинный 102, короткий (×2) 100, все коллы или все путы.

Длинные 98 путы, длинные 102 коллы, короткий 100 стрэддл.

Длинные 98 коллы, длинные 102 путы, короткий 100 стрэддл.

В результате этих правил волатильность пута вне денег (out-of-the-money) должна точно соответствовать волатильности соответствующего колла в деньгах (in-the-money) на том же страйке.

Правило управления рисками

Трейдеры никогда не должны переносить правило паритета пут-колл за пределы одного и того же страйка. Некоторые из предыдущих правил могут быть использованы с мягкими американскими опционами, за исключением случаев, когда дельта опциона становится слишком высокой.

Американские опционы, досрочное исполнение и другие проблемы (продвинутый уровень)

Американский опцион создает больше проблем, чем европейский, поскольку путь, по которому следует базовый актив, может привести к досрочному исполнению опциона. В случае с европейским опционом ценообразование является достаточно простым – можно просто дисконтировать окончательные выплаты на дату экспирации.

Не погружаясь в детали ценообразования американского опциона, можно сказать, что сложность моделирования возникает из-за неопределенности, связанной с возможностью досрочного исполнения опциона[26]. Правила исполнения непостоянны и зависят от времени и внутренней стоимости, что делает их слишком неопределенными.

Вероятность досрочного исполнения обычно определяется двумя способами – по мягким (или легким) или по жестким правилам.

Мягкие американские опционы

■ Мягкий американский опцион (также называемый псевдоевропейским опционом) досрочно исполняется только по соображениям финансирования внутренней стоимости.

В дополнение к этому определению можно сказать, что существует единственная процентная ставка, от которой зависит финансирование опционной премии для трейдера и которая влияет на решение о досрочном исполнении.

Для целей управления рисками и торговли мягкие американские опционы во многом схожи с европейскими опционами, за исключением тех случаев, когда процентные ставки становятся очень высокими по отношению к волатильности. Причина, по которой их часто называют псевдоевропейскими, заключается в том, что они ведут себя в целом как европейские опционы, кроме случаев, когда находятся глубоко в деньгах (deep in the money). Критерий досрочного исполнения состоит в том, является ли общая стоимость опциона меньше временно́й стоимости денег между моментом принятия решения и датой экспирации.

Пример. Предположим, что актив торгуется по $100 при процентной ставке 6 % (в годовом исчислении) и волатильности 15,7 %. Предположим также, что 3-месячные 80 коллы стоят $20 (тип исполнения – американский). Отказ от досрочного исполнения приведет к возможным затратам 20 × 90/360 × 0,06 = $0,30 (финансирование премии в размере $20 на 3 месяца